Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.
Термин
Слово «фрактал» может употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных ниже свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
История
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Примеры
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
кривая дракона,
кривая Коха,
кривая Леви,
кривая Минковского,
кривая Пеано.
С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.
Стохастические фракталы
Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:
траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.
Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба. Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.
Типы фракталов
Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:
геометрические фракталы
алгебраические фракталы
системы итерируемых функций
стохастические фракталы
Читать подробнее >>> ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Несколько работ от Nathan Smith, создающего "ювелирные" фракталы
Arc Version 1
Blue Heart
Compass of the Soul Version 2
Free Spirit II
Heart of Color
Silent Echoes
Soft Lights
Spirals
Tempest Collaboration
Другие найденные мной работы Натана Смита можно посмотреть в альбоме ФРАКТАЛЫ от Nathan Smith ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Продолжение следует... ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Итак, продолжаем... Сегодня хочу предложить вашему вниманию, дорогие друзья, несколько альбомов с фракталами от Satu Oli (Финляндия). К сожалению, никакой информации об авторе я найти не смогла. Но работы - это "пиршество" великолепия!
А вот несколько работ из альбома Satu OliMarbles Orbs and Spheres
Astral
Good Old Times
Tribute
In SnowQueens' Palace
Inner Glow
The Three - Bad Apple
Our Home In Current Universe
Winter Dreams
Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Marbles Orbs and Spheres ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Trees ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Wedding-like ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Продолжение знакомства с работами Satu Oli следует... ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Ириш, это компьютерная графика. Как я поняла, существуют специальные программы для создания фракталов. Бэлла, я в них влюбилась сразу же как только увидела. И захотела поделиться этой красотой с вами со всеми. ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Продолжение знакомства с работами Satu Oli следует...
Продолжаем знакомство. И предлагаю вам несколько работ из альбома Satu OliWinter
Frost
Frost Falling
Frost Flowers
Pastel Spiral
Safire Night
Structure
Winter
Winter Storm
Wintery Dream
Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Winter ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli -Wonderland ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
А теперь заглянем в альбом Satu OliRainbow colours
Chained Fun
Disorder In Chaos
Flower Vortex
For Butterflies
Harlequin II
My Rainbow Garden
Night Of The Phoenix
Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Rainbow colours ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Продолжение следует... ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
Ну вот созрела я и подготовила довольно "большой" альбом с работами Satu OliFlowers.
Above The Clouds
Barbie Durbie
Basic Julian Floral
Delicate
Juliet
Let Me Sail Home
Merry Spring
Midnight Flowers
The Joy Of Spring
The Night Of Surprises
Water Lily
Остальные работы можно посмотреть в альбоме Фракталы от Satu Oli - Flowers ХУДШИЙ ИЗ НЕДУГОВ - БЫТЬ ПРИКОВАННЫМ К СВОИМ НЕДУГАМ (Сенека) ЮМОР - ЭТО СПАСАТЕЛЬНЫЙ КРУГ НА ВОЛНАХ ЖИЗНИ (Вильгельм Раабе) УПАДЁШЬ ТЕЛОМ - ПОДНИМУТ, УПАДЁШЬ ДУХОМ - ЗАТОПЧУТ! (с)
